浮点数最小间隔公式（float32：最小间隔≈当前数值 ×2⁻²³）详细拆解

要搞懂这个公式，核心是抓住「float32 的尾数存储规则」和「二进制有效数字的位权逻辑」—— 公式不是凭空来的，是从 IEEE 754 标准的存储结构直接推导出来的。咱们从「尾数的位权→相邻浮点数的差异→公式推导→实例验证」一步步拆，全程不跳步。

一、前置基础：先明确 float32 尾数的 “位权分布”

float32 的尾数位（M）是 23 位，且只存储「二进制归一化数的小数部分」（因为整数部分是固定的 1，即隐藏位，不用存）。

1. 归一化数的结构

所有常规 float32 数值（E 不是全 0 / 全 1）都能表示为：数值 = (1 + M) × 2^e

1：隐藏位（固定为 1，不存储）；
M：23 位尾数位的二进制值（比如 M=01101₂，就是 0.01101₂的小数）；
e：实际指数（= 存储的 E 值 - 127，比如 e=2、e=-4）。

2. 尾数位（M）的位权的关键

23 位尾数位 M，每一位的 “权重” 是固定的 —— 从左到右（小数点后第 1 位到第 23 位），位权依次是 2⁻¹、2⁻²、2⁻³、...、2⁻²³。举个例子：M=01101₂（仅前 5 位有值，后 18 位为 0），对应的十进制值是：0×2⁻¹ + 1×2⁻² + 1×2⁻³ + 0×2⁻⁴ + 1×2⁻⁵ + 0×2⁻⁶ + ... + 0×2⁻²³ = 0.25 + 0.125 + 0.03125 = 0.40625

这里的核心：尾数位的 “最小单位” 是最后一位（第 23 位），其权重是 2⁻²³ —— 这是尾数能表示的 “最小变化量”，也是公式中 2⁻²³ 的来源！

二、核心推导：为什么最小间隔 = 当前数值 ×2⁻²³？

“最小间隔”（ULP，Unit in the Last Place）指的是：两个相邻 float32 数值的差值（即 float32 能区分的最小数值差）。

我们分 3 步推导这个差值：

步骤 1：取两个相邻的尾数值 M₁和 M₂

因为 M 是 23 位二进制数，相邻的两个 M 值，差值就是 “尾数的最小单位”—— 也就是 2⁻²³（比如 M₁=0.000…000₂，M₂=0.000…001₂，差值 = 2⁻²³；M₁=0.111…111₂，M₂=1.000…000₂，差值还是 2⁻²³）。即：M₂ - M₁ = 2⁻²³

步骤 2：计算对应的两个浮点数的差值

两个相邻浮点数的「指数 e 是相同的」（只有尾数变化，指数不变才是相邻数），所以它们的数值分别是：数值₁ = (1 + M₁) × 2^e数值₂ = (1 + M₂) × 2^e

两者的差值（最小间隔）为：数值₂ - 数值₁ = [(1 + M₂) - (1 + M₁)] × 2^e = (M₂ - M₁) × 2^e

代入 M₂ - M₁=2⁻²³，得到：最小间隔 = 2⁻²³ × 2^e = 2^(e - 23)

步骤 3：关联 “当前数值” 与 “2^e”

当前数值的核心是 (1 + M) × 2^e，而 (1 + M) 的范围是「1 ≤ (1 + M) < 2」（因为 M 是 23 位小数，最大为 0.111…111₂≈1）。这意味着：2^e ≤ 当前数值 < 2^(e+1) —— 当前数值和 2^e 是 “同一量级” 的（比如当前数值 = 5.625=1.01101×2²，2^e=2²=4，两者量级相同）。

为了简化计算（且误差极小），我们可以用「当前数值」近似替代「2^e」（因为 1 ≤ (1 + M) < 2，替代后误差不超过 1 倍）。所以：最小间隔 ≈ 当前数值 × 2⁻²³ —— 这就是公式的最终由来！

三、关键补充：公式的 “近似” 为什么合理？

可能你会问：“用当前数值替代 2^e，会不会有误差？”—— 误差很小，完全不影响对 “精度分布” 的判断：

当 (1 + M)=1 时（M 全 0）：当前数值 = 2^e，此时最小间隔 = 2^(e-23)= 当前数值 ×2⁻²³（完全相等）；
当 (1 + M)≈2 时（M 全 1）：当前数值≈2×2^e=2^(e+1)，此时最小间隔 = 2^(e-23)= 当前数值 ×2⁻²³ ÷ 2（误差仅 1 倍）；
实际情况中，(1 + M) 的平均值约 1.5，所以近似后的误差通常在 50% 以内 —— 对于判断 “0 附近间隔小、1 附近间隔大” 的核心逻辑，这个误差完全可以忽略。

四、实例验证：用具体数值看公式是否成立

我们用之前熟悉的 float32 数值验证，让公式落地：

实例 1：0 附近（当前数值 = 0.000001=1e-6）

先算 2^e：当前数值 = 1e-6，找 e 使得 2^e≈1e-6 → e≈-20（因为 2^-20≈9.54e-7，和 1e-6 量级一致）；
按精确公式：最小间隔 = 2^(e-23)=2^(-43)≈8.7e-13；
按近似公式：当前数值 ×2⁻²³=1e-6 × 8.3886e-8≈8.3886e-14（注意：这里因为当前数值 = 1e-6≈1.048×2^-20，(1+M)=1.048，所以用当前数值替代 2^e 后，结果更接近实际间隔）；
实际间隔：0.000001 和相邻 float32 数值的差约 8e-14，和公式结果一致 —— 间隔极小，精度极高。

实例 2：1 附近（当前数值 = 0.999999≈1.0）

2^e=2^0=1（因为当前数值≈1=1.0×2^0）；
精确公式：最小间隔 = 2^(0-23)=8.3886e-8；
近似公式：1.0×8.3886e-8≈8.3886e-8（完全相等）；
实际间隔：0.999999 和下一个 float32 数值的差约 8e-8，远大于 0 附近的间隔 —— 精度极低。

实例 3：中间值（当前数值 = 0.1）

2^e=2^-4=0.0625（因为 0.1=1.10011…×2^-4）；
精确公式：最小间隔 = 2^(-4-23)=2^-27≈1.387e-8；
近似公式：0.1×8.3886e-8≈8.3886e-9（误差约 40%，但仍能看出间隔比 0 附近大、比 1 附近小）；
实际间隔：0.1 的相邻 float32 差值约 1e-8，和公式结果趋势一致。

五、公式的核心意义：解释 “0 近高精、1 近低精”

从公式「最小间隔≈当前数值 ×2⁻²³」能直接看出：

数值越小（越靠近 0）：最小间隔越小 → 能区分的小数越精细（精度高）；
数值越大（越靠近 1）：最小间隔越大 → 能区分的小数越粗糙（精度低）；

这就是 float32 在 Z 缓冲区 [0,1] 区间的精度分布逻辑 —— 公式是 “现象” 的本质，“0 近高精、1 近低精” 是公式推导后的必然结果！

总结：公式拆解核心要点

公式来源：从 float32 的「尾数存储规则（23 位 + 隐藏位）」和「相邻数值的差值计算」推导而来；
2⁻²³ 的意义：尾数位的 “最小单位权重”，是尾数能表示的最小变化量；
近似逻辑：用 “当前数值” 替代 “2^e”（同一量级，误差小），简化后得到实用公式；
核心作用：定量解释浮点数的精度分布，直接说明 “0 附近精度高、1 附近精度低” 的原因。